СПОСОБ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ В
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВАХ

Современное представление чисел в компьютере, на взгляд автора, во многом является результатом соглашения, т.е. искусственным. Это привело к неоправданно сложным алгоритмам вычисления, а также к усложнению и удорожанию аппаратных средств вычислений. Попробуем обосновать это утверждение.
Любое число в системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) записывается следующим образом :

++…++ +…+

Существует также естественная и экспоненциальная запись числа. Естественная запись числа 0,0001 в экспоненциальной записи будет выглядеть как 0,1?.
Число А в любой системе счисления в экспоненциальной форме может быть записано как
,
где m – мантисса числа,

q – основание системы счисления,
n – порядок числа
Порядок числа n и мантисса взаимоопределяют друг друга . Число 0,0001 может иметь следующие равноправные формы записи
0.0001=0.1?=1.0?=10?=. . .
0.0001=0.01?=0.001?=0.0001?=0.00001?. . .

Экспоненциальная форма записи обычно используется для записи либо очень больших, либо очень маленьких чисел, которые в обычной естественной форме содержат большое количество нулей.

В отличие от представления чисел на бумаге, компьютерное представление имеет важные ограничения, обусловленные дискретностью и конечностью представления чисел. Диапазон обрабатываемых компьютером чисел определяется количеством разрядов, отведенных для записи порядка числа в экспоненциальной форме, а также разрядностью мантиссы. Точность же представления чисел определяется только разрядностью мантиссы.

Очевидно, что значение порядка числа в экспоненциальной форме однозначно определяет положение точки в естественном представлении числа. В случае, когда мантисса числа представляет собой правильную дробь, имеющую после точки цифру отличную от нуля, такое число будет являться нормализованным. Большинство компьютеров оперируют с нормализованными числами с плавающей точкой.

Но представление чисел в форме с плавающей точкой – искусственное представление чисел, чуждое принципам дискретной арифметики компьютерной техники, ограниченной ресурсами разрядной сетки. Оно приводит к большим и неоправданным затратам при построении программно-аппаратных вычислительных устройств.
Порядок чисел, с которыми приходится оперировать человеку, определяется той областью человеческой деятельности, для которой проводятся компьютерные вычисления. При проведении тех или иных вычислений пользователю, главным образом, важно знать диапазон, в котором находятся числа, с которыми он может оперировать. От этого зависит точность (достоверность) получаемых результатов. И физика-ядерщика и астронома могут интересовать соотношения размеров объектов, расстояний между ними, их масса. Но объекты у них разные. Поэтому одно и то же число, скажем 124, полученное в результате компьютерных расчетов, физик-ядерщик будет интерпретировать как 124 ангстрема, а астроном, как 124 млрд. км. И ни кому из них в голову не придет измерять расстояние между планетами в ангстремах, или расстояние между атомами в световых годах. Каждый из них оперирует своими единицами. Принципиальным для них является точность представления величин, с которыми они работают или, что то- же самое, диапазон, в котором могут находиться значащие цифры исследуемых величин. Количество же нулей до или после запятой является просто масштабным коэффициентом, который в вычислениях не используется.

Для нормализации представляемых чисел, чтобы не иметь дело с большим количеством нулей человечество выработало естественную систему единиц. Для того, чтобы не оперировать с бесполезными для вычислений нулями перед или после значащих цифр, люди придумали приставки - кило, мега, микро, пико, нано и т.д. Эти приставки и определяют ту область значений величин, в которой проводятся вычисления. Таким естественным образом люди стремятся свести все вычисления к операциям с целыми числами. Почему же все-таки приходится иметь дело с дробными числами? Необходимость в таком представлении чисел возникает тогда, когда нет единиц измерения более мелких, чем те, в которых проводятся измерения. В остальных случаях, использование дробных чисел - дело вкуса. Принципиально никакой разницы нет, если расстояние между предметами записано как 1,3 м. или 130 см.

В компьютере самой мелкой единицей измерения является бит. Пользователь может считать, что один бит это 1м., или 1$, или это единица, равная . Диапазон чисел, с которыми оперирует компьютер, определяется разрядностью представления этих чисел. Этот диапазон чисел определяет точность представления чисел, или наименьшее значение представляемого числа. Представление числа в естественной позиционной форме наиболее рационально и оптимально. Так, в двоичной системе счисления для записи чисел от 0 до 255 требуется 8 разрядов. Все другие представления чисел, в частности экспоненциальная, требуют большего количества разрядов для записи возможных значащих цифр чисел, а также сложных процедур вычислений.

Таким образом, для оптимизации процессов вычислений в компьютере логично оперировать только с целыми числами. Чтобы привести все числа к целому представлению, их надо нормализовать. Для этого необходимо определить единицу измерения, в которой производятся вычисления, или задать минимально возможное число, которое соответствует 1 биту. Это число удобно задать в виде положительного или отрицательного порядка экспоненты. Оно не участвует в процессе вычислений, а используется только для интерпретации результата вычислений, области, к которой относятся полученные величины.

© Ю.М. Спиридонов, 2009